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运用等价变形题指导学生解题

12-08 20:27:01 | www.jiaoxue51.com | 小学数学解题研究 | 人气:104

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  有些数学应用题,因为数量关系较为复杂,学生会感到无从下手,这时,教师可运用非等价变形题引导学生进行分析并解答。
  例1.一个面积为20平方厘米的正方形内有一个最大的圆,求这个圆的面积是多少?
  分析与解答:题目中正方形的面积是个非完全平方数,如果要让学生求出圆的半径,然后再求出这个圆的面积学生是无从下手的。
  因此,可先出示这样一道比较题:“已知一个面积为1平方厘米的正方形内有一个面积最大的圆,求这个圆的面积。”
  因为正方形的面积是1平方厘米,学生能很快理解这个正方形的边长即为1厘米,因此面积为1平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积为:3.14×(1÷2)2=0.785(平方厘米)。
  在学生求解出面积为1平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积后,教师可再将此题同例1进行比较,这样学生就能很快求出面积为20平方厘米的正方形内面积最大的圆的面积为: 0.785×20=15.7(平方厘米)。
  例2.某校上学期共有学生1040人,本学期有学生1360人,其中男生比上学期增加48%,女生比上学期增加20%,求这所学校本学期有男女生各多少人?
  分析与解答:题中的两个百分率无直接关系,给解题带来了一定的难度。
  因此,可先出示这样一道比较题:“某校上学期共有学生1040人,本学期男女生都比上学期增加了20%,求本学期这所学校共有多少人?”
  学生很快求出答案,本学期学校有学生:1040×(1+20%)=1248(人)。
  然后再将此题同例2进行比较,学生便发现“男女生都比上学期增加了20%”与例2的“男生比上学期增加48%,女生比上学期增加20%”相关的人数则为:1360-1248=112(人)。因此,可求得上学期的男生人数应为:112÷(48%-20%) =400(人),所以,本学期的男生人数为:400× (1+48%)=592(人),本学期的女生人数为:1360- 592=768(人)。
  例3.某校学生步行去进行郊游活动,在离开学校3千米处,张老师发现有物品遗留在学校,马上骑自行车以每小时9千米的速度返回学校,拿了物品后又追赶学生队伍,已知学生队伍每小时行4千米,求张老师离开队伍几小时又追赶上学生队伍?
  分析与解答:题目不明确张老师从何处追及,以及追及的距离有多长,学生感到无法下手。
  因此,可设计以下一道比较题:“某校学生去进行郊游活动,每小时行4千米,队伍离开学校6千米后,张老师才骑自行车以每小时9千米的速度去追赶队伍,问张老师几小时能追赶上队伍?”
  学生很快求出答案:张老师追赶上队伍的时间为:6÷(9-4)=1.2(小时)。
  然后再将此题与例3进行比较,学生很快看出,张老师在队伍离开学校3千米处返回学校去拿取物品,然后再追及队伍,追及的距离即为当时队伍与学校距离的2倍。因此,学生很快求出例3的答案,张老师追赶上队伍的时间为:3× 2÷(9-4)=1.2(小时)。
  例4.某工厂计划在规定的时间内加工一批零件,若每小时加工30个,则比规定时间晚完成 1小时,若每小时加工48个,则比规定时间少用半小时,如果要在规定的时间内完成,每小时要加工几个零件?
  分析与解答:学生对题目中“比规定时间晚完成1小时”与“比规定时间少用半小时”这两个条件不理解,因此会感到难以求解。
  因此,可出示下列一道比较题:“甲、乙两人同时骑摩托车从A地到B地,甲每小时行48千米,乙每小时行30千米,经过若干个小时,乙离 B地还有36千米,甲超过B地24千米,这时两人如果立即掉头往回走,如果两人的速度不变,问甲追上乙要几小时?”
  这是一道追及应用题,学生能很快列式解答,甲追上乙要用的时间为:(24+30)÷(48-30)= 3(小时)。
  然后再将此题同例4进行比较,学生即能发现,比较题的追及时间即为例4中加工这批零件的规定时间,因此学生很快求出加工这批零件的规定时间为:(30+48÷2)÷(48-30)=3(小时)。所以,在规定的时间内完成这批零件,每小时要加工的零件个数为:30×(3+1)÷3=40(个)。
  例5.幼儿园将一筐苹果分给小朋友,如果分给小班,每人5个则余10个,如果分给大班,每人8个,则有一人分到6个,已知小班比大班多3人。问这筐苹果有几个?
  分析与解答:这题比一般的盈余问题多了“小班比大班多了3人”,因此有的学生会望而却步,不知所措。
  因此,可出示这样一道比较题:“幼儿园将一筐苹果分给大班的小朋友,

  www.jiaoxue51.com 如果每人5个,则余25个,如果每人8个,则少2个,问这筐苹果共有几个?”
  学生能很快列式求解,大班人数为:(25+2)÷ (8-5)=9(人)。这筐苹果的个数为:9×8-2=70 (个),或5×9+25=70(个)。
  然后再将此题同例5进行比较,学生也能很快知道,小班比大班多3人,即大班每人分5个则要多余:5×3+10=25(个);分给大班每人8个,有一人只分到6个,则少:8-6=2(个)。因此,学生能够迅速求出这筐苹果的个数为:8×[(25+2)÷(8—5)]-2=70(个)。
  例6.一项工程,甲、乙两人合作30天完成,如果甲单独做24天后,乙再加入合作,两人合作12天后,甲因有事离开,由乙再单独做了15天才完成这项工程。问这项工程如果由甲单独做要用几天才能完成?
  分析与解答:这道题因为甲、乙两人做的时间前后不同,学生会感到束手无策。
  因此,可出示这样一道比较题:“一项工程,甲、乙合作30天完成,如果甲、乙两人合作 27天后,甲再用了9天才完成,求甲单独完成这项工程要用几天才能完成?”
  学生很快求出甲单独完成这项工程要用的时间为:9÷(1-1/30×27)=90(天)。
  然后再引导学生将此题同例6进行比较,学生即能发现,两道题的解题思路是完全相同的。因此,学生也能很快求出甲单独完成这项工程要用的时间为:(24-15)÷[1-1/30×(15+12)] =90(天)。


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