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追问学校数学与生活数学的分野:三角形的认识

12-08 20:27:01 | www.jiaoxue51.com | 小学数学课堂实录 | 人气:442

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  纪实
  
  不久前,学校组织了一次“青年教师同上一节课(《三角形的认识》)”的教学观摩活动。连续五节课中,学生们多次类似的质疑,引发了听课老师对三角形稳定性的深入思考。下面是其中的两则案例。
  案例1:“老师,我发现有的三角形没有稳定性!”
  师:同学们想体验一下三角形的稳定性吗?
  生(齐):想——!
  师:在每张课桌的抽屉里各藏了一个三角形和四边形木架,请拿出来,同座之间相互拉一拉。
  大家正玩得高兴,突然一位学生叫起来:“老师,我发现有的三角形没有稳定性!”兴奋的叫声几乎吸引了所有人的目光。只见学生手中拿着由四根小棒钉成的木架(如下图):
  
  “三角形具有稳定性。学生手上的木架是三角形的。所以它应具有稳定性。”这似乎是一个严密的三段论。可事实上,学生手上的三角形木架却不稳定。这该如何解释呢?
  案例2:“这个四边形车架是铁的,所以它也有稳定性。”
  师:三角形的稳定性在生活中有着广泛的应用,如自行车中部的车架就是三角形的(出示图片)。
  
  一个学生嘀咕:“那好像不是三角形的。”
  “对,不是三角形,是四边形!”一些学生响应。
  “这个车架虽然是四边形,但它是铁的,也有稳定性。”又一个学生补充道。
  对于“三角形稳定性”,教材中是这样描述的:“用三根木条钉成一个三角形,用力拉这个三角形,这个三角形的形状不会改变。可见,三角形具有稳定性。”同理,用四根钢管焊成一个四边形(车架),用力拉这个四边形,这个四边形的形状不会改变。可见,四边形也就具有稳定性了。但是,四边形怎么会具有稳定性呢?
  
   分析
  
  曾尝试着这样解释案例1中的问题——四根小棒围成的这个木架形状虽然是三角形的,但它有一条边是由“两根”小棒组成的,所以它就容易变形了。然而当我们对这个解释再作分析时,突然发现,其实我们已经从另一角度默认了“有的三角形不具有稳定性”这种错误论述。
  要真正向学生解释清楚这些看法似简单甚至幼稚的问题,并不像我们想像的那么简单。课堂上执教老师突然遇此质疑,视而不见、避而不答,应该说情有可原!可如果今后我们再遇到此问题,那该如何处理?
  带着思考和疑问,课后我讨教了几位经验丰富的老师。他们的意见大体可归为两类:
  一种意见认为,导致上述矛盾的主要原因在于,我们将“三角形”与“三角形物体”混为一谈:稳定性是三角形的特性,它有时在某些三角形物体身上表现为稳固、不易变形,但这并不说明所有三角形物体都很稳固、不易变形,更不说明不易变形的物体就具有稳定性。如案例1中,对于“三根小棒围成的三角形”这个“图形”来说具有稳定性,但对于四根小棒围成的三角形木架这一“物体”来说,它却容易变形。再如,四根钢管围成四边形“车架”虽不易变形,但它并不代表“四边形”就具有稳定性。从这个角度看,教材中关于三角形稳定性的描述似乎有以“物”代“形”的嫌疑。
  另一种意见认为,主要原因在于学生将生活中的“稳定”与三角形稳定性的“稳定”混为一谈。生活中,将一根木棒插入地面,使劲儿摇它,它不动,我们说这根木棍很稳定,显然此“稳定”并非三角形稳定性之“稳定”。
  认真推敲上述两类分析,再结合自己的想法,笔者认为,上述矛盾的根本原因在于老师们对数学教学生活化、活动化的误解,导致了对生活经验负面干扰的忽视和对数学自身科学性、严密性和弱视。这在学校的观摩课中明显表现为,几乎所有上课老师的课堂中都出现了相似的环节:同桌两人兴奋地拉扯着三角形或四边形,发现“三角形木架不管怎么使劲儿拉,都不变形,而四边形木架不费吹灰之力,就变形了”,于是学生自然地归纳出“三角形具有稳定性,四边形容易变形”。
  热闹的活动、明显的对比,学生学得高兴,印象也很深刻。然而热闹之后再思考,却发现学生“深刻的印象”其实只停留在使劲“拉”上——四根木棍围成的三角形因为“拉”得动,所以“不”具稳定性;自行车车架虽是四边形,但它是铁的,“拉”不动,所以就“具有”稳定性。
  其实,打开百度网站,搜索“三角形稳定性”,就会发现很多网页中的“三角形稳定性”明确指向于“形状和大小完全确定”。其中最具代表性的描述是:“只要三角形三条边的长度固定,这个三角形的形状和大小也就完全确定,三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。”这就是说,三角形的稳定性不是“拉得动、拉不动”的问题,其实质应是“三角形边长确定,其形状和大小就确定了”。
  比较教材和网上关于三角形稳定性的描述,应该说各有千秋。网上的描述明确地揭示了“三角形稳定性”的本质特征“边长确定,则大小、形状唯一”,而教材上的描述则显得亲切、形象,与生活十分贴近。
  
  尝试
  
  学生思维的“具体、形象”与数学自身的“抽象、形式”之间的关系到底该如何处理?能在两者间找到一个恰当的平衡点吗?在与同事们一起思考、推敲后,我试上了一节《三角形的认识》,截取其中关于三角形稳定性的教学片段如下:
  师:刚才同学们用三根牙签围成了一个三角形。想一想,用这三根牙签还能围成其他形状的三角形吗?
  生(齐):能。
  老师请来几位认为“能”的学生到投影仪上演示,若干次尝试后,学生们发现不管怎样移动牙签,三角形除姿势变化外,其形状、大小都不会改变。
  于是老师顺势引导学生归纳:“只要三角形三条边的长度固定,这个三角形的形状和大小也就完全确定,三角形的这种性质叫做三角形的稳定性。”
  师:下面我们来做个实验——在每一张课桌的抽屉里各藏有一个三角形和多边形架,请拿出来,同座之间互相拉一拉……

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