高三数学教案：抛物线复习

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本文题目：高三数学教案：抛物线复习

1 抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

2 抛物线的图形和性质：

①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。

②焦准距：

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。

④顶点平分焦点到准线的垂线段： 。

⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。

⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。

⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。

3 抛物线标准方程的四种形式：

4 抛物线 的图像和性质：

①焦点坐标是： ，

②准线方程是： 。

③焦半径公式：若点 是抛物线 上一点，则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是： ，

④焦点弦长公式：过焦点弦长

⑤抛物线 上的动点可设为P 或 或P

5 一般情况归纳：

方程 图象 焦点 准线 定义特征

y2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离

k<0时开口向左

x2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离

k<0时开口向下

抛物线的定义：

例1：点M与点F (-4，0)的距离比它到直线l：x-6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程.

分析：点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等，符合抛物线定义.

答案：y2=-16x

例2：斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求线段A、B的长.

分析：这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是：把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.

解：如图8-3-1，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x-1.

由 消去y得x2-6x+1=0.

设A (x1，y1)，B (x2，y2) 则x1+x2=6.

又A、B两点到准线的距离为 ， ，则

点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作用。

例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程;

(2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程;

(3) 已知抛物线方程为y=-mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程;

(4) 求经过P (-4，-2)点的抛物线的标准方程;

分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属哪类标准型，再录求P值(注意p>0).特别是(3)题，要先化为标准形式： ，则 .(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解.

答案：(1) ， .(2) x2=12y (3) ， ;(4) y2=-x或x2=-8y.

例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3，2);

(2)焦点在直线x-2y-4=0上

分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论

解：(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0)，

∵过点(-3，2)，

∴4=-2p(-3)或9=2p•2

∴p= 或p=

∴所求的抛物线方程为y2=- x或x2= y，前者的准线方程是x= ，后者的准线方程是y=-

(2)令x=0得y=-2，令y=0得x=4，

∴抛物线的焦点为(4，0)或(0，-2)

当焦点为(4，0)时， =4，

∴p=8，此时抛物线方程y2=16x;

焦点为(0，-2)时， =2，

∴p=4，此时抛物线方程为x2=-8y

∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y，

对应的准线方程分别是x=-4，y=2

常用结论

① 过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p

② 设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y2=2px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2

③ 设A， B是抛物线y2=2px上的两点，O为原点， 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)

例5：过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2=-4p2.

分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于-1，从而得到x1、x2，y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.

证：由OA⊥OB，得 ，即y1y2=-x1x2，又 ， ，所以： ，即 . 而y1y2≠0.所以y1y2=-4p2.

弦的问题

例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点) 求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值;

(2)直线AB经过一个定点

(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程

解：(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2,

∴y12y22=4p2x1x2,

∵OAOB, ∴x1x2+y1y2=0,

由此即可解得：x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)

(2)直线AB的斜率k= = = ,

∴直线AB的方程为y─y1= (x─ ),

即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y= (x─2p),

直线AB过定点C(2p,0)

(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y= (x─2p) (i),

又ABOM, 故两直线的斜率之积为─1, 即 • = ─1 (ii)

由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x0)

解法2: 由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出

例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标

解：如图，设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,

又设点A，B，M在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y轴的交点为N，

则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,

∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )=

等号在直线AB过焦点时成立，此时直线AB的方程为y=k(x─ )

由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0

依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,

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