高三数学教案：圆锥曲线经典例题及总结

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本文题目：高三数学教案：圆锥曲线经典例题及总结

圆锥曲线

1.圆锥曲线的两定义：

第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常数 ，且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段F F ，当常数小于 时，无轨迹;双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于|F F |，定义中的“绝对值”与 <|F F |不可忽视。若 =|F F |，则轨迹是以F ，F 为端点的两条射线，若 ﹥|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)：

(1)椭圆：焦点在 轴上时 ( )，焦点在 轴上时 =1( )。方程 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B)。

(2)双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： =1( )。方程 表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0，且A，B异号)。

(3)抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口向上时 ，开口向下时 。

3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：

(1)椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

(2)双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。

4.圆锥曲线的几何性质：

(1)椭圆(以 ( )为例)：①范围： ;②焦点：两个焦点 ;③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心(0,0)，四个顶点 ，其中长轴长为2 ，短轴长为2 ;④准线：两条准线 ; ⑤离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆; 越大，椭圆越扁。

(2)双曲线(以 ( )为例)：①范围： 或 ;②焦点：两个焦点 ;③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心(0,0)，两个顶点 ，其中实轴长为2 ，虚轴长为2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ;④准线：两条准线 ; ⑤离心率： ，双曲线 ，等轴双曲线 ， 越小，开口越小， 越大，开口越大;⑥两条渐近线： 。

(3)抛物线(以 为例)：①范围： ;②焦点：一个焦点 ，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离;③对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点(0,0);④准线：一条准线 ; ⑤离心率： ，抛物线 。

5、点 和椭圆 ( )的关系：(1)点 在椭圆外 ;(2)点 在椭圆上 =1;(3)点 在椭圆内

6.直线与圆锥曲线的位置关系：

(1)相交： 直线与椭圆相交; 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件; 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。

(2)相切： 直线与椭圆相切; 直线与双曲线相切; 直线与抛物线相切;

(3)相离： 直线与椭圆相离; 直线与双曲线相离; 直线与抛物线相离。

提醒：(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线 =1外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条;③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题： ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为bc;对于双曲线 。 如 (1)短轴长为 ，

8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF=∠BMF;(3)设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A ，B ，若P为A B 的中点，则PA⊥PB;(4)若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。

9、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B，且 分别为A、B的横坐标，则 = ，若 分别为A、B的纵坐标，则 = ，若弦AB所在直线方程设为 ，则 = 。特别地，焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

抛物线：

在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k= ;在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k= 。

提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 !

11.了解下列结论

(1)双曲线 的渐近线方程为 ;

(2)以 为渐近线(即与双曲线 共渐近线)的双曲线方程为 为参数， ≠0)。

(3)中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ;

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为 ，焦准距(焦点到相应准线的距离)为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ;

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线 的焦点弦为AB， ，则① ;②

(7)若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点

12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

(1) 给出直线的方向向量 或 ;

(2)给出 与 相交,等于已知 过 的中点;

(3)给出 ,等于已知 是 的中点;

(4)给出 ,等于已知 与 的中点三点共线;

(5) 给出以下情形之一：① ;②存在实数 ;③若存在实数 ,等于已知 三点共线.

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