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高一数学练习:高一数学综合能力测试解答题五
21.(本题满分12分)(09•江苏文)设向量a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),c=(cosβ,-4sinβ)
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|b+c|的最大值;
(3)若tanαtanβ=16,求证:a∥b.
[解析] (1)∵a=(4cosα,sinα),b=(sinβ,4cosβ),
c=(cosβ,-4sinβ)
∵a与b-2c垂直,∴a•(b-2c)=a•b-2a•c=4cosαsinβ+4sinαcosβ-2(4cosαcosβ-4sinαsinβ)
=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,∴tan(α+β)=2.
(2)∵b+c=(sinβ+cosβ,4cosβ-4sinβ)
∴|b+c|2=sin2β+2sinβcosβ+cos2β+16cos2β-32cosβsinβ+16sin2β
=17-30sinβcosβ=17-15sin2β,
当sin2β=-1时,最大值为32,
∴|b+c|的最大值为42.
(3)由tanαtanβ=16得sinαsinβ=16cosαcosβ
即4cosα•4cosβ-sinαsinβ=0,∴a∥b.
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