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高一数学练习:高一数学综合能力测试解答题四
20.(本题满分12分)(北京通州市09~10高一期末)已知向量a=(3cosωx,sinωx),b=sin(ωx,0),且ω>0,设函数f(x)=(a+b)•b+k,
(1)若f(x)的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π2,求ω的取值范围;
(2)若f(x)的最小正周期为π,且当x∈-π6,π6时,f(x)的最大值为2,求k的值.
[解析] ∵a=(3cosωx,sinωx),b=(sinωx,0),
∴a+b=(3cosωx+sinωx,sinωx).
∴f(x)=(a+b)•b+k=3sinωxcosωx+sin2ωx+k
=32sin2ωx-12cos2ωx+12+k
=sin2ωx-π6+12+k.
(1)由题意可得:T2=2π2×2ω≥π2.
∴ω≤1,又ω>0,
∴ω的取值范围是0<ω≤1.
(2)∵T=π,∴ω=1.
∴f(x)=sin2x-π6+12+k
∵-π6≤x≤π6,∴-π2≤2x-π6≤π6.
∴当2x-π6=π6,
即x=π6时,f(x)取得最大值fπ6=2.
∴sinπ6+12+k=2.∴k=1.
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