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现象扫描
前不久，在我校教学演练场上，一位骨干教师执教“倍”(苏教版国标本小学数学二年级下册第73—75页)一课。该课教学内容安排紧凑，教学过程轻松活泼，学生积极参与，练习设计层层深入，形式多样。教学效果按照推想应该很好，但课的结尾部分却令人匪夷所思，出现了两个极不和谐的镜头。
镜头一：
师：聪明的苗苗给大家带来了一些数字卡片。(出示如下卡片)
师：我们可以说12是2的6倍。你能找两个数说一说吗?
生：5是2的3倍。
师：能说5是2的3倍吗?
生，(立即纠正)：5是3的2倍。
师：5和3行吗？
生1(又纠正)：5是1的4倍。
师：我们可以说5是1的5倍。
……
镜头二：
师：好好说“我今天看了30页故事书”，明明说“我今天看了6页故事书”，好好看的页数是明明的几倍?你能列式解答吗?
(学生列式解答后)
师：你是怎样列式解答的?
生1：30÷6=5(倍)。
师：这个“倍”要写吗？
生(齐说)：要。
师：这个“倍”字，我们可以不写。
很显然，镜头一中的学生根本不知道“倍”是怎么回事，凭空随意瞎猜，把“一个数是另一个数的几倍”与“一个数比另一个数多多少”混淆。而镜头二中的学生把“倍”当作单位名称，也没有透彻理解“倍”是表示两个数量之间的关系。看来，本节课有些学生并没有真正理解“倍”的本质内涵。那么，究竟是什么原因让课堂陷入如此尴尬的境地呢?
理性思考
当我们静下心来，去除课堂表面的浮华，深入分析后不难发现：这节课，学生更多的是手和口的参与，缺乏脑的实质性参与。很多时间进行的是模仿活动和机械操练，教师没有引领学生对“倍”的本质进行深入思考，整个教学过程给人一种浮于表面的感觉。
其实，“倍”是一种数学语言，它不同于一般的生活语言或文学语言，具有高度的抽象性、严密的逻辑性和’丰富的内涵。学生认识并理解“倍”这个数学语言，需要经历一个数学化的过程。“数学化”是荷兰数学教育家弗赖登塔尔数学教育思想的核心，分横向数学化和纵向数学化。横向数学化是“把生活世界引向符号世界”，即生成生活与数学的联系；纵向数学化是“在数学世界里，符号的生成、重塑和被使用”，即生成抽象数学知识之间的联系。他倡导数学教育要实现横向数学化和纵向数学化的均衡发展。这节课该如何引领学生亲身经历数学化的过程，充分认识并深刻理解“倍”呢?带着这样的问题，我尝试着进行实践探索。
实践探索
一、横向数学化：生活语言和数学文字语言相互转换
[实践]
(电脑出示下图)
师：我们把2朵蓝花看作1份，黄花的朵数有这样的几份?
生1：把2朵蓝花看作1份，黄花的朵数就有这样的3份。
师：你是怎么想的?
生1：蓝花有2朵，黄花有3个2朵。
师：我们也可以说黄花的朵数是蓝花的——
生1：3倍。
师：谢谢你给我们带来了数学上的一个新朋友——倍。(板书课题：倍)
师：我们说黄花的朵数是蓝花的3倍，也就是把谁看作1份，谁就有这样的几份?
生2：黄花的朵数是蓝花的3倍，就是把蓝花看作1份，黄花的朵数有这样的3份。
[思考]
教师借助实物图，在生活语言“把2朵蓝花看作1份，黄花的朵数就有这样的3份”的基础上进行提炼，让学生先提炼出“几个几”，再逐步抽象出数学语言“倍”。进而揭示“倍”的含义，实现从生活语言“几份”向数学文字语言“几倍”的转换。然后教师又让学生对数学文字语言“黄花的朵数是蓝花的3倍”用生活语言进行反刍式解读，从而生成生活与数学的联系，完成了横向数学化的过程。
二、纵向数
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学化
(一)数学文字语言和数学图形语言相互转换
[实践]
师：你能用自己喜欢的方式，表示出“苹果的个数是梨的2倍”吗?试试看。
学生动手操作后，进行汇报展示。出现以下几种不同的画法：
师：这几种画法，不仅梨和苹果的表示方法各不相同，它们的数量也各不相同，为什么都能表示苹果的个数是梨的2倍呢?
生1：画法①把1个梨看作1份，苹果就有这样的2份；画法②把2个梨看作1份，苹果也有这样的2份；画法③把3个梨看作1份，苹果还是有这样的2份，所以苹果的个数是梨子的2倍。
生：无论梨有多少个，我们都可以把它看作1份，苹果都有这样的2份，所以苹果的个数总是梨的2倍。
[思考]
让学生用自己喜欢的方式表示出“苹果的个数是梨的2倍”，不同画法的背后是学生对这句话理解深度的不同。画法①的学生还停留在借助具体物进行思考的阶段；画法②的学生能够去除具体物的属性，用口表示梨，用○表示苹果，初步具有图式意识；画法③的学生则完全去除具体物的属性，只保留两个数量之间的关系，即梨和苹果都用○表示，表现出较高的图式化水平。
将数学文字语言“苹果的个数是梨的2倍”转换为数学图形语言，使抽象的数学文字语言形象化、图式化，既巩固、深化、拓展学生对“倍”的本质内涵的理解，又发展了学生灵活运用数学图形语言表示数学知识的能力，为后面学习“求一个数是另一个数的几倍(或几分之几)”、“求一个数的几倍(或几分之几)是多少”以及“已知一个数的几倍(或几分之几)是多少，求这个数”的应用题建立了丰富的感性经验，同时为学生运用图示法分析应用题的数量关系夯实基础。
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希望
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