初三数学暑假作业：尺规作图检测题

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一、选择题

1.小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是

【解题思路】找出三角形最长边所对的顶点，过此点作出三角形的高。

【答案】C

【点评】考察简单的作图能力。难度较小。

如图2 ，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以 A和B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求.根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是

A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.等腰梯形

【解题思路】在作垂直平分线的过程中，满足了对角线互相平 分且垂直，符合菱形的判定方法。

【答案】B

【点评】本题主要考查尺规作图及特殊四边形的判定以及在作图中发现数学知识，运用数学知识，体现了中考基本作图的重视。

二、填空题

如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于___________.

【解题思路】通过∠AOB的画法可知三角形AOB是等边三角形，所以∠AOB=600，得到 cos∠AOB= 。

【答案】

【点评】熟练掌握利用尺规画图的技能技巧。

1.如图， 在RT⊿ABC中，∠C=900。(1)求作：⊿ABC的一条中位线，与AB交于D点，与BC交于E点。(保留作图痕迹，不写作法)

(2)若AC=6，AB=10，连接CD，则DE=         ，CD=         。

【解题思路】用尺规作图先确定AB和BC的中点分别为D、E，在连接DE。根据三角形中位线定理可知DE等于AC的一半。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知C D等于AB的一半。

【答案】则DE=3 ，CD=5.

【点评】本题考查了尺规作图、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理。难度中等.

三、解答题

如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、B、C.

(1)请完成如下操作：

①以点O为原点、竖直和水平方向所在的直线为坐标轴、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系;②用直尺和圆规画出该圆弧所在圆的圆心D的位置(不用写作法，保留作图痕迹)，并连结AD、CD.

(2)请在(1)的基础上，完成下列问题：

①写出点的坐标：C             、D               ;

②⊙D的半径=                 (结果保留根号);

③若扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的地面面积为          (结果保留π);

④若E(7,0)，试判断直线EC与⊙D的位置关系并说明你的理由.

【解题思路】(1)C(6，2)，弦AB，BC的垂直平分线的交点得出D(2，0);(2)OA，OD长已知，△OAD中勾股定理求出⊙D的半径=2  ;(3)求出∠ADC的度数，得弧ADC的周长，求出圆锥的底面半径，再求圆锥的底面的面积;(4)△CDE中根据勾股定理的逆定理得∠DCE=90°，直线EC与⊙D相切.

【答案】(1)

(2)①解：C(6，2);D(2，0);.

②解：⊙D的半径=  =  =2 ;

③解：AC=  =2  ，CD=2  ， ，∴∠ADC=90°.

扇形ADC的弧长=  =  π，圆锥的底面的半径=  ，

圆锥的底面的面积为π(  ) 2=  ;

④直线EC与⊙D相切.

证明：∵ =25，∴∠DCE=90°.∴直线EC与⊙D相切.

【点评】本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，综合性较强，圆的圆心D的确定是关键.难度中等.

(本题满分10分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D.

(1)以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O(不写作 法，保留作图痕迹);再判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由;

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(2)若(1)中的⊙O与AB边的另一个交点为E，AB= 6， BD=2 ，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的图形面积.(结果保留根号和 )

【解题思路】(1)要使⊙O经过A、D两点，且圆心要在AB边上，故OA=OD，则O必在AD的垂直平分线与AB的交点处.要证BC与⊙O相切，连OD，只需证OD⊥BC，而 ∠ACB=90°，故只需证AC∥OD即可.(2)所求图形的面积等于Rt△ODB的面积减去扇形ODE的面积.

【答案】解：(1)作图略(需保留线段AD中垂线的痕迹);

直线BC与⊙O相切，理由如下：

连接OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA.

∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAC.

∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC.

∵∠C=90°，∴∠ODB=90°，即OD⊥BC.

又∵直线BC过半径OD的外端，∴BC为⊙O的切线.

(2)设OA=OD=r，在Rt△BDO中，OD2+BD2=OB2，

∴r2+(2 )2=(6-r)2，解得r=2.

∵tan∠BDO=  = ，∴∠BOD=60°.

∴ .

∴所求图形的面积为S△BDO- =2 - .

【点评】本题融作图、推理证明、计算于一体，有效地考查了圆的基础知识(确定圆心位置)、切线的判定、直角三角形的性质及圆的有关计算.证明切线时一般有两种方法：一是连半径，证垂直;另一是作垂直，证半径.还有就是注意“角平分线+等腰三角形→平行线”这一数学基本图形.

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